第57章 常用数学函数

标准数学库(math.h或cmath)提供了丰富的数学计算函数，其中三角函数、对数函数和指数函数是编程中处理几何、科学计算问题的基础工具。

57.1 数学库的使用

• 头包含：
  1. C语言中需包含<math.h>。
  2. C++中需包含<cmath>(推荐)或<math.h>。
• 编译链接：部分编译器(如GCC)使用数学库函数时，需在编译命令中添加-lm选项(链接数学库)。
• 数据类型：函数参数和返回值多为double类型，部分函数提供float(后缀f)和long double (后缀l)版本(如sinf、sinl)，本章以double类型为主。
• 错误处理：当输入参数无效时(如对数参数为负数)，函数行为由编译器实现定义，可能返回NaN(非数字)或引发域错误，编程中需保证输入合法。

57.2 三角函数

三角函数以弧度为单位接收参数，涉及角度计算时需先将角度转换为弧度，转换公式：

$${弧度} = {角度} \times \frac{\pi}{180}$$

57.2.1 基本三角函数

1. 正弦函数sin

   • 函数原型：double sin(double x);
   • 功能：计算$x$(弧度)的正弦值。
   • 参数：$x$无取值范围限制，函数自动按周期$2\pi$处理。
   • 返回值：范围$[-1.0, 1.0]$。
   • 示例：$\sin(\pi/2)=1.0$，$\\sin(0)=0.0$。

2. 余弦函数cos

   • 函数原型：double cos(double x);
   • 功能：计算$x$(弧度)的余弦值。
   • 参数：$x$无取值限制，周期$2\pi$。
   • 返回值：范围$[-1.0, 1.0]$。
   • 示例：$\\cos(0)=1.0$，$\cos(\pi)=-1.0$。

3. 正切函数tan

   • 函数原型：double tan(double x);
   • 功能：计算$\sin(x)/\cos(x)$。
   • 参数：当$x=\pi/2 + k\pi$（$k$为整数），分母为0，返回正负无穷。
   • 返回值：取值范围$(-\infty,+\infty)$。
   • 示例：$\tan(\pi/4)=1.0$，$\\tan(0)=0.0$。

57.2.2 反三角函数

1. 反正弦函数asin

   • 原型：double asin(double x);
   • 功能：计算$\\arcsin(x)$。
   • 参数：$x \in [-1.0, 1.0]$，超出返回NaN。
   • 返回值：弧度，区间$[-\pi/2, \pi/2]$。
   • 示例：${asin}(1.0)=\pi/2$，${asin}(0)=0.0$。

2. 反余弦函数acos

   • 原型：double acos(double x);
   • 功能：计算$\\arccos(x)$。
   • 参数：$x \in [-1.0, 1.0]$，超出返回NaN。
   • 返回值：弧度，区间$[0, \pi]$。
   • 示例：${acos}(1.0)=0$，${acos}(-1.0)=\pi$。

3. 反正切函数atan

   • 原型：double atan(double x);
   • 功能：计算$\\arctan(x)$。
   • 参数：任意实数。
   • 返回值：弧度，区间$(-\pi/2, \pi/2)$。
   • 示例：${atan}(1.0)=\pi/4$，${atan}(0)=0.0$。

57.2.3 角度与弧度转换

弧度转角度

$${角度} = {弧度} \times \frac{180}{\pi}$$

宏定义示例：#define rad2deg(x) (x * 180.0 / M_PI)

角度转弧度

$${弧度} = {角度} \times \frac{\pi}{180}$$

宏定义示例：#define deg2rad(x) (x * M_PI / 180.0)

常量说明：M_PI代表圆周率$\pi \approx 3.141592653589793$，部分编译器需要先定义#define _USE_MATH_DEFINES才能使用。

57.3 对数函数

57.3.1 自然对数log（以$e$为底）

• 原型：double log(double x);
• 功能：计算$\ln x$，满足$e^y = x$。
• 参数：$x>0$，否则返回NaN。
• 返回值：全体实数范围。
• 示例：$\\log(1.0)=0.0$，$\\log(e)=1.0$。

57.3.2 常用对数log10（以10为底）

• 原型：double log10(double x);
• 功能：计算$\lg x$，满足$10^y = x$。
• 参数：$x>0$，否则返回NaN。
• 示例：$\\log10(10.0)=1.0$，$\log10(0.1)=-1.0$。

57.3.3 任意底数对数（换底公式）

$$\log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)} = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(a)}$$

约束：$a>0, a \neq 1, x>0$ 示例：$\log_2(8) = \log(8)/\log(2) = 3.0$

57.3.4 以2为底log2（C99标准）

• 原型：double log2(double x);
• 参数：$x>0$
• 示例：$\\log2(8.0)=3.0$

57.4 指数函数

57.4.1 自然指数函数 exp（底数$e$）

• 原型：double exp(double x);
• 功能：计算$e^x$，$e\approx2.71828$。
• 参数：任意实数，过大时返回无穷大。
• 返回值：$(0,+\infty)$
• 示例：$exp(0.0)=1.0$，$exp(\ln(2.0))=2.0$。

57.4.2 幂函数pow

• 原型：double pow(double x, double y);
• 功能：$x^y$
• 参数限制：
  1. $x<0$时，$y$必须是整数；
  2. $x=0$且$y\le0$返回NaN。
• 示例：${pow}(2.0,3.0)=8.0$，${pow}(4.0,0.5)=2.0$。

57.4.3 平方根sqrt

• 原型：double sqrt(double x);
• 功能：$\sqrt{x} = x^{0.5}$
• 参数：$x \ge 0$，负数返回NaN。
• 示例：$\sqrt{4.0}=2.0$。

57.4.4 立方根cbrt（C99）

• 原型：double cbrt(double x);
• 功能：$x^{1/3}$
• 参数：正负实数均可。
• 示例：${cbrt}(-8.0)=-2.0$。

57.5 函数使用注意事项

1. 参数合法性
   • asin、acos 参数必须在$[-1,1]$；
   • log/log10/log2 参数必须大于0；
   • sqrt 参数不能为负数； 非法输入会得到NaN，造成计算错误。
2. 浮点数精度误差 如$0.1+0.2 \neq 0.3$，判断相等需用误差区间：${fabs}(a-b) < 1e-9$。
3. 单位区分：三角函数输入输出全为弧度，角度必须转换。
4. 常量兼容：VS等编译器需#define _USE_MATH_DEFINES才能使用M_PI。
5. 返回值范围
   • sin/cos：$[-1,1]$
   • asin：$[-\pi/2, \pi/2]$，acos：$[0,\pi]$
   • exp恒正，对数可正可负

57.6 选择题练习（含参考答案）

参考答案与解析（点击展开）

1. B —— sin(x) 以弧度为参数；$\pi/2$ 弧度 = 90°，$\sin(90^\circ)=1$。
2. B —— $\log_2(8)=3$，因为 $2^3=8$；也可由 log2(8.0) 返回 3.0 验证。
3. B —— 弧度 = 角度 × $\pi/180$，例如 180° 对应 $\pi$。
4. A —— exp(x) 返回 $e^x$（$e\approx2.71828$），定义域为任意实数，返回值恒正。
5. B —— 浮点数存在精度误差，应使用误差区间判断：fabs(a-b) < 1e-9。

1. $\sin(\pi/2)$ 的返回值（其中 $\pi/2$ 是 90° 对应的弧度）是？（　　）

   • A. 0
   • B. 1
   • C. -1
   • D. 0.5

2. 调用 log2(8.0)，返回值是？（　　）

   • A. 2
   • B. 3
   • C. 8
   • D. 0.5

3. 将角度转换为弧度的公式是？（　　）

   • A. 弧度 = 角度 × 180 / $\pi$
   • B. 弧度 = 角度 × $\pi$ / 180
   • C. 弧度 = 角度 / $\pi$
   • D. 弧度 = 角度 × $\pi$

4. 关于 exp(x) 函数，下列说法正确的是？（　　）

   • A. 返回 $e^x$（$e\approx2.71828$）
   • B. 返回以 10 为底的对数
   • C. 参数必须大于 0
   • D. 返回值可能为负数

5. 在 C++ 中比较两个 double 是否"相等"，推荐做法是？（　　）

   • A. 直接用 a == b
   • B. 用 fabs(a - b) < 1e-9 判断误差区间
   • C. 用 a - b == 0
   • D. 以上都不对