第64章 代数与平面几何

代数部分的方程求解、函数应用，以及平面几何中的图形性质、坐标运算等，是处理数学建模、图形绘制、逻辑判断等问题的基础。八级大纲要求"能求解一元一次方程、二元一次方程，并掌握长方形、三角形、圆形的面积计算"。

64.1 代数基础

64.1.1 实数与代数式

实数分类

1. 有理数：整数、分数，可写成 $\frac{p}{q}\ (q≠0)$；
2. 无理数：无限不循环小数，如 $\sqrt{2},\ \pi$。

实数运算律

代数式与整式

• 代数式：由数字、字母经加减乘除乘方开方构成，例 $3x+2y,\ a^2-b^2$；
• 单项式：数字字母乘积，如 $-3a^2b$；
• 多项式：多个单项式相加； 整式运算：

1. 合并同类项：$3x+5x=8x$；
2. 幂运算：

64.1.2 方程与不等式

一元一次方程 标准形式 $ax+b=0\ (a≠0)$ 步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。

二元一次方程组 形如

解法：代入消元、加减消元。

一元二次方程 标准式 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$ 判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 求根公式：

• $\Delta>0$：两个不等实数根
• $\Delta=0$：两个相等实数根
• $\Delta<0$：无实数根

不等式基本性质

1. 同加同减，不等号不变；
2. 同乘除正数，不等号不变；
3. 同乘除负数，不等号反转。

64.1.3 函数基础

一次函数 $y=kx+b\ (k≠0)$

• $b=0$ 为正比例函数 $y=kx$；
• $k>0$，$y$ 随$x$增大而增大；$k<0$反之。

反比例函数 $y=\frac{k}{x}\ (k≠0,\ x≠0)$ 图像为双曲线，$k>0$在一、三象限，$k<0$在二、四象限。

二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 对称轴：$x=-\frac{b}{2a}$ 顶点坐标：

• $a>0$ 开口向上，顶点最小值；
• $a<0$ 开口向下，顶点最大值。

64.1.4 用 C++ 求解方程（教学代码）

一元一次方程 $ax+b=0\ (a\neq 0)$ 的解析解：

#include <iostream>
using namespace std;

// 解 ax + b = 0，返回是否有唯一解；解写入 x
bool solveLinear(double a, double b, double &x) {
    if (a == 0) return false;     // a=0 时不是一元一次方程（无解或无穷解）
    x = -b / a;
    return true;
}

二元一次方程组 $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ 可用克拉默法则（行列式）：

#include <iostream>
using namespace std;

// 解二元一次方程组，行列式 det = a1*b2 - a2*b1；det=0 无解/无穷解
bool solve2(double a1, double b1, double c1,
            double a2, double b2, double c2,
            double &x, double &y) {
    double det = a1 * b2 - a2 * b1;
    if (det == 0) return false;
    x = (c1 * b2 - c2 * b1) / det;
    y = (a1 * c2 - a2 * c1) / det;
    return true;
}

64.2 平面几何基础

64.2.1 点、线、角

• 直线：两端无限延伸，两点确定一条直线；
• 线段：两点之间部分，两点之间线段最短；
• 射线：一端无限延伸。

角分类：锐角$<90^\circ$、直角$=90^\circ$、钝角$>90^\circ$。 平行线性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

64.2.2 三角形

三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 内角和：$180^\circ$；外角等于不相邻两内角和。

全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 相似判定：两角相等 / 两边成比例夹角相等 / 三边成比例；面积比等于相似比平方。

直角三角形勾股定理：

• 30°对直角边为斜边一半；
• 等腰直角三角形斜边$=\sqrt{2} \times$直角边。

64.2.3 四边形

平行四边形：对边平行相等、对角相等、对角线平分； 矩形：四角直角，对角线相等； 菱形：四边相等，对角线垂直平分； 正方形：兼具矩形、菱形全部性质； 等腰梯形：两腰相等，同底两角相等，对角线相等。

64.2.4 圆

垂径定理：垂直弦的直径平分弦； 圆心角=对应弧度数，圆周角=弧度数一半； 直径对应圆周角为直角。 直线与圆：

• $d>r$ 相离；$d=r$ 相切；$d<r$ 相交。

64.2.5 平面直角坐标系

点对称

• 关于x轴：$(x,y) \to (x,-y)$
• 关于y轴：$(x,y) \to (-x,y)$
• 关于原点：$(x,y) \to (-x,-y)$

两点距离公式（$A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)$）

线段中点坐标：

64.2.6 常用图形面积计算（C++）

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.141592653589793;

// 由三个顶点坐标求三角形面积（鞋带公式 / 叉积）
double triangleArea(double x1, double y1, double x2, double y2,
                    double x3, double y3) {
    return 0.5 * fabs(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2));
}

// 圆面积
double circleArea(double r) {
    return PI * r * r;
}

// 长方形面积
double rectArea(double a, double b) {
    return a * b;
}

64.3 数学在编程中的应用

1. 代数：循环迭代解方程、函数数值计算；
2. 几何：坐标求距离、图形碰撞检测、绘图；

64.4 注意事项

1. 浮点运算选用float/double保证精度；
2. 平方开方使用pow、sqrt库函数；
3. 判断浮点数相等不能直接==，需设置极小误差区间。

64.5 真题示例（坐标求三角形面积）

【GESP 八级风格·编程题】 题目描述：输入 6 个实数 $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$，表示平面上一个三角形的三个顶点，输出该三角形的面积，保留两位小数。 输入格式：一行六个实数。 输出格式：一个实数，面积。 样例输入：0 0 3 0 0 4 样例输出：6.00

参考解答（鞋带公式）：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main() {
    double x1, y1, x2, y2, x3, y3;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3;
    double area = 0.5 * fabs(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2));
    cout << fixed << setprecision(2) << area << endl;
    return 0;
}

练习题

1.（一次方程） 方程 $2x + 4 = 0$ 的解是？

• A. $x = 2$
• B. $x = -2$
• C. $x = 4$
• D. $x = -4$

2.（勾股定理） 直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，斜边长是？

• A. 5
• B. 6
• C. 7
• D. 25

3.（圆面积） 半径为 2 的圆，面积是？（取 $\pi\approx 3.14$）

• A. 6.28
• B. 12.56
• C. 4
• D. 25.12

4.（两点距离） 点 $A(0,0)$ 与 $B(3,4)$ 之间的距离是？

• A. 5
• B. 7
• C. 12
• D. 25

5.（方程组） 鸡兔同笼：共有 35 个头、94 只脚，设鸡 $x$ 只、兔 $y$ 只，方程组是？

• A. $x+y=35,\ 2x+4y=94$
• B. $x+y=94,\ 2x+4y=35$
• C. $x-y=35,\ 2x+4y=94$
• D. $x+y=35,\ x+2y=94$