第21章 计算机的数制

21.1 数制的基本概念

21.1.1 基数

基数 = 每个数位上可用的符号个数。

• 十进制：基数 10，符号 0~9
• 二进制：基数 2，符号 0、1
• 八进制：基数 8，符号 0~7
• 十六进制：基数 16，符号 0~9、A~F（A=10，B=11，…，F=15）

21.1.2 位权

位权 = 基数的 $n$ 次方，从右往左、下标从 0 开始。

十进制 123：

21.2 计算机中常用的数制

21.2.1 十进制（Decimal）

后缀 D（可省略）；逢十进一、借一当十，日常生活使用。

21.2.2 二进制（Binary）

后缀 B；仅 0、1；逢二进一。是计算机唯一的底层存储格式（晶体管导通/截止对应 1/0）。

• 加法：$0+0=0,\ 0+1=1,\ 1+0=1,\ 1+1=10$
• 减法：$0-0=0,\ 1-0=1,\ 1-1=0,\ 10-1=1$

21.2.3 八进制（Octal）

后缀 O 或 Q；3 位二进制 = 1 位八进制，用来简化长二进制串的书写。

21.2.4 十六进制（Hexadecimal）

后缀 H；4 位二进制 = 1 位十六进制，编程中最常用（内存地址、颜色值、位运算掩码等），逢十六进一。

21.3 数制之间的转换

21.3.1 任意进制 → 十进制

规则：按位权展开求和。

1. 二进制 $1011\text{B}$： $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11$
2. 八进制 $123\text{O}$： $1 \times 8^2 + 2 \times 8^1 + 3 \times 8^0 = 83$
3. 十六进制 $1\text{A}3\text{H}$： $1 \times 16^2 + 10 \times 16^1 + 3 \times 16^0 = 419$

21.3.2 十进制 → 任意进制

• 整数部分：除基取余，逆序输出
• 小数部分：乘基取整，顺序输出（三级一般只考整数）

示例1：十进制 11 → 二进制

11 ÷ 2 = 5  余 1
 5 ÷ 2 = 2  余 1
 2 ÷ 2 = 1  余 0
 1 ÷ 2 = 0  余 1
余数逆序：1011

示例2：十进制 83 → 八进制

83 ÷ 8 = 10  余 3
10 ÷ 8 = 1   余 2
 1 ÷ 8 = 0   余 1
逆序得：123

示例3：十进制 419 → 十六进制

419 ÷ 16 = 26  余 3
 26 ÷ 16 = 1   余 10(A)
  1 ÷ 16 = 0   余 1
逆序得：1A3

21.3.3 二进制 ↔ 八 / 十六进制

• 二进制 → 八进制：从右往左每 3 位一组，不足左补 0。 例：$101101\text{B}$ → 101 101 → $55\text{O}$
• 二进制 → 十六进制：每 4 位一组，不足左补 0。 例：$10110101$ → 1011 0101 → $\text{B}5\text{H}$
• 反过来：八/十六进制转二进制，就是 1 位拆成 3 位 / 4 位，去掉前导 0。

21.4 C++ 进制与转换示例

C++ 直接支持多种进制字面量，并可用 <bitset> 输出二进制、<iomanip> 控制输出进制。

#include <iostream>
#include <bitset>      // 用于二进制输出
#include <iomanip>     // 用于 hex / oct 输出
using namespace std;

// 十进制整数转二进制字符串（除 2 取余）
void decToBin(int n) {
    if (n == 0) { cout << 0; return; }
    int bits[32], k = 0;
    int x = n;
    while (x > 0) { bits[k++] = x % 2; x /= 2; }
    for (int i = k - 1; i >= 0; i--) cout << bits[i];
}

int main() {
    int x = 255;
    cout << "十进制 " << x << " 的二进制: "
         << bitset<8>(x) << endl;        // 11111111

    // 字面量与不同进制输出
    int a = 0xFF;        // 十六进制字面量
    int b = 0177;        // 八进制字面量（以 0 开头）
    cout << "0xFF = " << a << " , 0177 = " << b << endl;

    cout << "255 八进制 = " << oct << x << endl;   // 377
    cout << "255 十六进制 = " << hex << x << endl; // ff
    return 0;
}

21.5 选择题练习

1. 十六进制数 1A 转换为十进制是？

A. 26
B. 16
C. 10
D. 25

2. 将十进制数 100 转换为二进制，结果是？

A. 1100100
B. 1101000
C. 1011100
D. 1110000

3. 二进制数 111010 转换为八进制，结果是？

A. 72
B. 73
C. 71
D. 36

4. 关于二进制与十六进制的转换，下列说法正确的是？

A. 每 3 位二进制对应 1 位十六进制
B. 每 4 位二进制对应 1 位十六进制
C. 每 2 位二进制对应 1 位十六进制
D. 二进制与十六进制无法快速互转

5. C++ 中，八进制字面量的特征是？

A. 以 0x 开头
B. 以 0 开头
C. 以 0b 开头
D. 以 H 结尾